Diciembre

Semana 1

• Sucesiones y series de variable compleja

Las sucesiones y series de variable compleja son muy similares a las sucesiones y series de variable real.
La serie de Laurent es la única que se aplica únicamente para variable compleja.

Sucesiones Una sucesión compleja es una función de los naturales sobre los complejos.

Propiedades

• Sea {Zn}= Xn + i Yn para cada numero positivo n, y sea L=a+bi, entonces:

                             

• SERIES:

 Si sumamos los elementos de una sucesión obtenemos una serie que se lo representa por:

 

La convergencia de la serie compleja la determinamos por intermedio de las series reales que la conforman.

Propiedades:

Sea {Zn}= Xn + i Yn , entonces:





Series reales convergentes:

Series reales divergentes:

• SERIES ESPECIALES:

1. Serie Geométrica:

i)             Es absolutamente convergente si |Z|<1

ii)           Es divergente si |Z|>1

2. Serie Armónica:

3. Serie P:

i)        Es convergente si p>1

ii)        Es divergente si p <=1

• CRITERIOS DE CONVERGENCIA

Dentro de los criterios más importantes para nuestro estudio se consideró los siguientes:

Semana 2

• SERIES DE POTENCIA

Donde:

 an : coeficientes

n: Potencia

Para el caso particular, si:           Z₀=(0,0)

Propiedades:

Sea Zn diferente de cero(0) y suponiendo que    ,entonces:

1. Si 0<R<1 , entonces    es convergente.
2. Si R>1, entonces es divergente.

• SERIES DE TAYLOR

Una función analítica admite un desarrollo mediante una serie de Taylor compleja

Propiedad 1

- Si f es analítica en Z₀, entonces f tiene un desarrollo mediante una serie de Taylor representada por

Si Z₀=(0,0), entonces:

El desarrollo mediante una serie de Taylor para una función analítica se le puede hacer por varios métodos:

1. Por Sustitución
2. Por Derivación
3. Por Integración

• SERIE DE LAURENT

 (Exclusiva de los complejos), Si f(z) no es analítica en Zo no admite desarrollo mediante Serie de Taylor, pero admite un desarrollo mediante la serie de Laurent.

Propiedad 1

Si f es analítica en el anillo R1<|Z-Zo|<R2 entonces para Z en este anillo.